古典概型的计算方法
古典概型的计算方法
摘要:古典概型是概率论发展初期的主要研究对象,在概率论中占有很重要的地位.其问题千变万化,解题方法独特,技巧性强.文章根据其定义、性质从六个不同方面对古典概型的计算方法进行了探讨.
关键词： 概率； 公式； 计算
定义法求古典概型
古典概型的基本概念及性质
随机事件具有以下特点:
样本空间个元素(即基本事件)只有有限个.不妨设
个,并记他们为
每个事件出现的可能性是相等的,即有
称这种数学模型为古典概型.
对于随机事件
属于事件域,如果
是
个基本事件的和,则
可以看出，对于古典概型概率的计算，不论样本空间是何形式，样本点的数量是最重要的，一般作为样本空间的子集选出来，用的最多的方法是利用乘法原理排列组合。
常用的方法有三种:
列举法.针对样本空间所含样本点数很少的情况，可直接写出样本空间
和事件
,数出各自所含样本点数的个数.
利用排列组合方法计算样本点数.这是针对于复杂的试验，要注意的是
和
的计算方法要一致,要么都利用排列,要么都利用组合.
逆数法.先求出事件
的样本点数,再用样本空间点数减去
的样本点数即可得到事件
的样本点数.
定义法求古典概型中常见的三类问题【1】
抽球问题.
分房问题.此模型中的人和房子都是有特征的,通常是将一个一个地往房间里分配.
取数问题.须分清有放回地取数及无放回地取数.
例(分房问题) 假设每个房间可以住任意多个人,将
个人随机地分到
个房间,求下列事件的概率:
“某指定的
个房间中各有一人”
“恰有
个房间中各有一人”
“某指定的一个房间中有
个人”
解 将
个人分
个房间里,有
,
个人分指定的
个房间里,有
,有
.
个房间里恰有
个房间中各有一人,则为
,所以有
某指定的一个房间中有
个人为
,所以有
.
例(一题多解) 从
双不一样的手套中随机拿
只,求
只手套至少有
只可以凑一双的概率多大?
解
双手套里随机拿
只,共有
种可能出现的情况.设
“取到的
只中至少有
只配成对”,则
“取到的
只均为单只”共有
种取法,故
.
解
将
只手套进行编号,共有
种.对于
有
种,则
.
例(随机取数) 从
十个数中随机取
次（有放回）数,每次取一个,问组成没有重复数字的四位数的概率是多少.
解 取
次共有
种,
个没有重复数字的排列为
,去掉首位数字为零的
种,所以
利用概率的加法公式求古典概型概率
互斥事件的加法公式
若
与
互斥,则
若
互斥,则
例 给
个相同小球分别编号为
,问随机取两个小球问编号至少有一个是奇数的概率.
解 记
“随机取两个球,有一个编号为奇数”
“随机取两个球,都为奇数”则
由互斥事件的加法公式可知
独立事件的加法公式
若
与
为对立事件,有
此公式,用于逆向思考,使计算更加简便.
例 分别标号
的
张卡片中任取三张,问抽到的号中至少有一个是
的倍数的概率为多少.
解 令
“取出的三张卡片中,没有一个是
的倍数”则
所求概率为
利用条件概率及乘法公式计算古典概型的概率
条件概率的计算方法
设
是事件,且
,称
为在事件
发生的条件下事件
发生的条件概率.
实际问题中,要注意条件概率的条件是什么;并且知道如何计算条件概率.一般条件概率的计算有两种方法[2]:
定义法.即按公式
计算
.
改变样本空间法.即在样本空间
的缩减样本空间中计算事件发生的概率.
例 丢一颗均匀的骰子，告诉你一个“点数大于一”的信息,再考虑是“奇数点”的概率是多少?
解
令
“大于一”
“奇数点”, 则
由定义计算:
,
则
解
当得到信息 “大于一”时,新样本空间为
,
中有两个奇数, 令
“奇数点”，则有
.
注 条件概率具有概率的一切性质[3]：
.（
与
互不相容时）
乘法公式
将条件概率公式变形就可得到乘法公式:
一般的,设
为任意
个事件,
时，则有
EMBED Equation.DSMT4
利用事件独立性计算古典概型.
对于任意的两个事件
,若
成立,则称事件
是相互独立的,简称独立的.
对任意的三个事件
如果有
成立,则称事件
相互独立.
EMBED Equation.DSMT4
个事件的独立性.
设
是
个事件,如果对于任意的
EMBED Equation.DSMT4
和任意一组
,都有等式
成立,则称
是
个相互独立的事件.
当
,
时,
[3]
若
与
相互独立,则
与
,
与
,
与
也相互独立.
例 事件
与
相互独立,已知
,
,求
.
解
EMBED Equation.DSMT4
于是
，得
.
因
与
相互独立，故
与
也相互独立.则
.
利用全概率公式与Bayes公式计算古典概型概率.
古典概型的概率时常常把相对复杂的随机事件划分为几个互不相容的相对简单的事件之和,利用概率的可加性,变为计算简单事件的概率. 这就是全概率公式.其体现了化归的思想.
设
是一列互不相容的事件,且有
则对任一事件
,有
式通常称作全概率公式.
设
是一列互不相容的事件,且有
则对任一事件
,有
式称为Bayes公式.
使用全概率公式与Bayes概率公式的前提条件是
是样本空间
的一个划分.
例[5] 某公司有四个分公司生产同一种被子,四个分公司的生产的被子分别占总被子的
,
,
和
,又这四个分公司的被子不合格率依次是
及
.现在从总公司产品中随机抽取一被子.
问一:恰好抽到不合格被子的概率是多少？
解 令
{随机抽取一件被子,恰好抽到不合格被子}
{随机抽取一件被子,恰好抽到第
个分公司生产的被子}
由全概率公式可得
其中,
分别为
及
.
问二:若顾客投诉到公司买了一条被子不合格，问公司追究哪个分公司的责任的可能性大?
解 从概率论的角度可以按
的大小来追究第
个(
)分公司的经济责任.例如,对于第四个分公司,由条件概率的定义知
在前面计算中,已用全概率求得
EMBED Equation.DSMT4
而
于是
由此可知,第四个分公司应承担
的责任.
例 小明在一年中有
的时间吃晚饭,有
的日子不吃晚饭,他说，若吃晚饭则必跑步,若不吃晚饭则跑步的概率为
,求:
小明跑步的概率;
若小明跑步了,则没吃晚饭的概率.
解 用
表示吃完饭,
表示没吃晚饭,
表示跑步,则
,
,
,
由全概率公式:
由Bayes公式:
差分方程计算古典概型的概率[6]
全概率公式是概率论中一个最基本、最常用、最重要的公式,但有时候解题步骤却非常繁琐,但其中却是有规律可寻的,即用差分方程来解决、表达这类繁琐问题.最常用的的是一阶差分方程.
一阶差分方程递推公式:
不论
取何值,
都成立.
例 设有
个盒子,给每个盒子中放
个塑料球,
个玻璃球,从第一个盒子中取出一球放入第二个盒子中,然后从第二个盒子中取出一球放入第三个方盒中,如此下去,问从第
个盒子中取出一球而为塑料球的概率是多少?
解
设
“从第一个盒子中取出的是塑料球”
“从第一个盒子中取出的是玻璃球”
“从最后一个盒子中取出的是塑料球”
由全概率公式得:
同理
EMBED Equation.DSMT4
解
由上述解题过程可以得出差分方程为
EMBED Equation.DSMT4
则利用递推公式得：
可以看出，差分方程的计算量要比全概率公式简便得多.
用对称性计算概率
一般说来, 利用古典概型的对称性.可以使问题变得简单易解.
例[7] 一盒子里有黑白棋子等多个.设甲抽取
次, 乙抽取
次,每次都只能抽取一个棋子，求甲抽到的白色棋子多于乙抽到的白色棋子概率.
解
“甲抽到白色棋子个数
乙抽到白色棋子个数”,则对立事件
“甲抽到白色棋子个数
乙抽到白色棋子数”.甲抽的次数恰比乙抽的次数多一次,则
“甲抽出黑色棋子的个数
乙抽出黑色棋子个数”.由于黑白棋子是等数量的,“甲抽出白色棋子数
乙抽出白色棋子数”与“甲抽出黑色棋子数
乙抽出黑色棋子次数”是对称的, 也是等可能的.
故
.
例[8]
双不同鞋子任意地排成一行,求每一双左脚都排在其右脚后面的概率.
解1（用传统方法） 若无顺序排列,则有
种.首先先把左脚依次排列,有
种.然
